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    计算机的进位计数制

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    发表于 2019-11-29 21:59:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
    进位计数制
    1.数制的概念 数制又称为计数制,是指用一组固定的数字或者文字符号(称为数码),和一套统一的
    规则来表示数值大小的方法。根据计数规则和特点的不同,数制可以分为非进位计数制和进 位计数制两类。
    ⑴ 非进位计数制 表示数值大小的数码与它在数中的位置无关的计数体制称之为非进位计数制。 罗马数字就是一种非进位计数制。在罗马数字中有七个数码,它们是:I (代表 1),V (代
    表 5),X (代表 10),L (代表 50),C (代表 100),D (代表 500),M (代表 1000)。这七个数码
    不论它们之间的相互位置怎样变化,各自所代表的数值大小不变。
    例如:II 表示 2,IV 表示 4,VII 表示 7,XII 表示 12,VL 表示 45,LXXVI 表示 76。
    ⑵ 进位计数制 表示数值大小的数码与它在数中的位置有关,采用进位原则的计数体制称为进位计数制。我们日常生活中使用的通常都是进位计数制,常见的一些进位计数制有:
    ① 十进制:是最常用的计数法,其特点是共有十个数码,0、1、2、3、4、5、6、7、8、
    9,逢十进一。
    ② 六十进制:计量时间的时、分、秒;计量角度的度、分、秒,均为逢六十进一。
    ③ 二十四进制:计量时间的每日二十四小时,逢二十四进一。
    ④ 十二进制:计量时间的年、月;十二小时计时制;英制计量单位,均为逢十二进一。
    ⑤ 二进制:对、双、副,逢二进一。
    2.进位计数制
    各种进位计数制都具有一些共同特点:使用了固定数量的若干个数码;在一个数中,同 一个数码处在不同的位置上表示的数值的大小不同。因此,可以得到构成进位计数制的三个 要素,它们是:
    ⑴ 基数
    进位计数制使用固定的 R 个数码,R 称为该计数制的基数,并逢 R 进一。R 等于几,
    即为几进制,逢几进一。 例如十进制数,有十个数码:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,基数为十,逢十进一; 二进制数,只有 0 和 1 两个数码,基数为二,逢二进一。
    ⑵ 数位 数位指的是数码在一个数中所处的位置。如在十进制数中常讲的个位、十位、百位、千
    位……,十分位、百分位、千分位等。数位以小数点为基准进行确定。

    ⑶ 位权 在进位计数制中,处于数中不同位置的相同数码所代表的数值大小不同。某位数的数值
    大小等于该数位的数码乘以一个与该数位有关的常数。这个常数称为该数位的位权。

    位权的大小等于以基数为底、数位序号为指数的整数次幂的值。

    例如十进制数码 6 在个位时表示的数值大小是 6×100=6×1=6,在十位时表示的数值 大小是 6×101=6×10=60,在百位时表示的数值大小是 6×102=6×100=600,在十分位 表示的数值大小是 6×10 -1=6×0.1=0.6,在千分位表示的数值大小是 6×10 -2=6×0.01=
    0.06。用一个表达式可将上述十进制数 666.66 表示为
    (666.66) 10  = 6×10 2+6×10 1+6×10 0+6×10 -1+6×10 -2
    = 6×100+6×10+6×1+6×0.1+6×0.01
    = 600+60+6+0.6+0.06
    上式称为十进制数的按权展开表达式。由上式可以看出,位权值的大小等于基数的某次 幂,而幂的值取决于数位。因此,各种进位计数制所表示的数值都可以写成按其位权展开的 多项式之和。
    对任意一个 R 进制数 M 可表示为:
    式中的 a i 称为系数,是 R 个数码符号中的某一个。系数与该位权值 R i 的乘积(a i×R i)
    称为加权系数,任意进制的数值就是其基数的加权系数和

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